dimecres, 9 de maig de 2012

LES DIMENSIONS (PLANILÀNDIA)


PLANILÀNDIA
“Planilàndia: Una novel·la amb moltes dimensions” és una novel·la clàssica de ciència-ficció, escrita l'any 1884 per Edwin Abbott Abbott.
Avui dia s'utilitza per a l'estudi de la geometria a moltes escoles i instituts, i es considera una lectura útil per a estudiar el concepte de la dimensió. Un llibre per a reflexionar i comprendre els salts d'una dimensió a l'altra i les paradoxes que es poden produir.
La història està narrada per un quadrat de Planilàndia, que somnia amb viatjar a un lloc desconegut, anomenat Linialàndia, poblat de ratlles i punts. Allí, el quadrat tracta de fer comprendre als seus habitants la realitat bidimensional. Malgrat els seus esforços, no ho aconsegueix, i quan està a punt de ser aniquilat per subversiu, desperta. Ja de tornada a la vigília, el narrador rep l'estranya visita d'un ésser provinent de Espailàndia. Reapareix llavors la intolerància, aquest cop del quadrat, que rebutja la possibilitat tridimensional, fins que l'inusual viatger (una esfera) el condueix al seu regne per treure'l de la seva ignorància. En tornar a Planilàndia, el quadrat, com a profeta il·luminat, intenta predicar als seus companys l'evangeli de les tres dimensions. L'ortodòxia, finalment, s'imposa: el condemnen a cadena perpètua, per boig.
A través de la geometria, l'obra reflecteix amb cruesa la rígida estructura jeràrquica de l'Anglaterra victoriana, on els habitants són figures geomètriques. El nombre d'angles i costats determinen d'una manera immutable l'estatus de cadascú, de manera que, els triangles isòsceles són les classes més baixes i els soldats. La classe mitjana està formada pels triangles equilàters, els quadrats: els professionals, els hexàgons: l'aristocràcia, i els cercles representen els sacerdots.

La dimensió
És un número relacionat amb les propietats mètriques o topològiques d’un objecte matemàtic. A la pràctica, serien les mides que necessitem d'un objecte per a poder descriure'l.
Així en general, considerem que els PUNTS no tenen cap dimensió, les RECTES en tenen una, les COSES PLANES (dibuixos animats, còmics, etc.) tenen dues dimensions, i les COSES AMB VOLUM (persones, animals, etc.) en tenen tres. (Fig.1)

Fig.1

Però cal tenir en compte que la dimensió d'un element depèn de la dimensió de l'espai en el qual es troba. Per exemple, una roca al fons del mar, en un món tridimensional, té tres dimensions, però en un món de dues dimensions (per exemple, si en fem un dibuix) en té només dues. El mateix passaria amb un peix, al mar, podria passar nedant per sobre de la roca o pel costat, però al dibuix només per un dels dos, segons si el dibuix està vist des de dalt o de costat.

  1. Cap dimensió
Un objecte puntual es considera adimensional quan tant ens fa la seva mida i forma, no necessitem cap mesura per a definir-lo (Fig.2). A més, no es necessita cap paràmetre per trobar l’únic punt que pertany al punt.
A la realitat, un objecte que té dimensió zero o adimensional no es pot mesurar i no existeix. Però sovint ens convé considerar objectes com a punts. Per exemple, quan estudiem la trajectòria que farà un cotxe per anar d'un lloc a un altre: tant ens farà la forma que tingui el cotxe, perquè l'estic considerant com a un punt de dimensió zero o adimensional, només ens interessarà la seva trajectòria.
Fig.2

  1. Una dimensió
Un objecte lineal-recte es considera que té una sola dimensió (Fig.3), ja que només ens cal una mesura (llargària). Si fem servir coordenades radials, un cercle també tindria una sola dimensió, ja que amb només conèixer el radi ja estaria definit.
Per exemple, si en una piscina amb carrils volem estudiar els nedadors que es desplacen en cada un d'ells, no ens cal tenir en compte la fondària de la piscina, i podem fixar-nos nomes en com avança cada persona al llarg d'un carril, que seria una línia recta. La piscina seria d'una sola dimensió.

Fig.3

  1. Dues dimensions
En un espai bidimensional, un objecte pla té dues dimensions: calen dues mesures (amplada i alçada), per designar qualsevol dels seus punts (Fig.4).
Els plans són bidimensionals, i només poden contenir cossos unidimensionals o bidimensionals. De dues dimensions són els polígons: triangle, quadrat, rectangle, rombe, trapezi, trapezoide, pentàgon, hexàgon... Altres: cercles i el·lipses, una corba sinusoïdal, un dibuix d'una casa, etc.
En paper (bidimensional) és possible representar objectes o paisatges tridimensionals.
Per exemple, una piscina encara que tingui molta profunditat, podem considerar que és plana si només ens interessa la seva superfície, per exemple per saber d'on a on neden les persones. També podem considerar que la superfície de la terra és plana, si volem anar d'un lloc a un altre, però les mesures en línia recta no ens valdran si hem de pujar i baixar muntanyes.
En química es pot parlar d'un sistema bidimensional si l'enllaç és especialment fort en dues dimensions, i més feble en la tercera, com en el cas del grafit. 

Fig.4

  1. Tres dimensions
Un objecte amb volum necessita almenys tres dimensions per a ésser descrit, ja que calen tres mesures (alçada, amplada i profunditat), per a descriure'l (Fig.5). Qualsevol d'aquestes mesures pot ser constant o no. Amb un origen de referència i tres mesures podem situar qualsevol punt que vulguem de dins d'aquest objecte.
L'espai al nostre voltant és tridimensional a simple vista, però en realitat hi ha més dimensions, de manera que també pot ser considerat un espai tetra-dimensional si incloem el temps, com a quarta dimensió .
De tres dimensions son el cub, l'esfera, piràmide, cilindre, una cadira de muntar, un tub fet amb un full de paper enrotllat, un cabell arrissat, un nen, una mà, una casa, etc.
Si el volum varia amb el temps (un fluid, un material tou que modifica la seva forma,etc.) llavors cal tenir en compte també el temps, ja que aquests canvis es descriuen amb derivades i integrals, però l'objecte no deixarà de tenir tres dimensions.

Fig.5
Per exemple, una línia pot tenir tres dimensions: una que tingui forma de molla; ja que per a definir cada punt que la forma necessitem conèixer on es troba respecte a tres mesures diferents. Així, en dues dimensions només podríem dibuixar un cercle, o una espiral bidimensional.
En química, es parla de sistemes tridimensionals quan l'enllaç químic és igualment intens en les tres direccions de l'espai (per exemple, en el diamant).
En matemàtiques el sistema tridimensional es representa en el pla cartesià amb els eixos X, Y i Z. En general en aquestes representacions es manegen les formes geomètriques de tres dimensions.
Avui dia és possible la simulació mitjançant càlculs basats en la projecció d'entorns tridimensionals sobre pantalles bidimensionals, com ara monitors d'ordinador o televisors. Els ordinadors disposen de les anomenades targetes gràfiques amb acceleració 3D.
  1. Dimensions majors a tres
Parlem de quelcom n-dimensional o que té n dimensions, sent n un nombre natural, per referir-nos a casos teòrics, als quals n pot ser qualsevol nombre natural (Fig.6).
Es pot teoritzar, calcular i obtenir resultats en mons imaginaris amb més de tres dimensions geomètriques, però aquestes matemàtiques no es poden aplicar a usos pràctics i les teories no es poden comprovar directament a partir de mesures.
Les dimensions superiors a tres només poden existir al nostre intel·lecte i, existents o no, poden donar lloc a interessants teories físiques (verdaderes o no).

Fig.6
El temps
El temps és una dimensió que ens serveix per a descriure un cos o conjunt de cossos, un fenomen, etc. com "en una pel·lícula", en comptes de com "en una foto".
El temps però, no és una dimensió pròpia de cap objecte ni de cap medi al qual es pugui trobar, només serveix per a veure com evolucionen.

L’APUNT
Principio del formulario
Final del formulario
Un equip internacional de científics ha fet el primer pas per a la construcció d’un ordinador quàntic (Fig.7) dins d’un diamant. Això suposarà un gran avenç per a l’estudi de les interferències que aquests aparells sofreixen com a conseqüència del seu entorn.
L’ordinador en qüestió permet emmagatzemar dins el diamant dos qubits (equivalent a un bit), i aconsegueix efectuar càlculs a una velocitat extraordinària. Malgrat això, els experts han indicat que només és l’inici i una prova d’un concepte que ha de ser encara desenvolupat.
Treball publicat a Nature.
 Fig.7

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada